Demostraciones potentes: la belleza de las potencias y del número e.

El número e, las potencias, los logaritmos… ¿Hay algo más simple y más bello que eso en las Matemáticas? Aquí voy a presentar un par de demostraciones tan simples como bellas, algo de historia y algunas herramientas matemáticas que nunca están de más. Vamos a hacer una demostración de una línea sobre las potencias, y vamos a obtener una expresión del número e… Las potencias… ¿Qué era eso?. a^4=a \times a \times a \times a. Es decir, una potencia de un número se basa en multiplicar el número tantas veces como la potencia mande; pero… ¿Y la potencia de un número elevado a cero?. Multiplicar un número por si mismo cero veces…
¡Es más fácil de lo que parece! Vamos a por esa demostración tan corta como sorprenderte…

a^0=a^{b-b}=\frac{a^b}{a^b}=1

¡Tan fácil como eso! Cualquier número elevado a cero; es uno…
Hay veces que llama muchísimo la atención que es muchísimo más fácil expresar o explicar algo con matemáticas que con palabras… ¿Cómo se puede explicar a nivel visual lo que acabamos de demostrar?

Pero si hablamos de potencias, la base de todas las potencias (ja, ja, ja) es el número e. El raro y bonito número e… ¿Qué narices es el número e? Un número irracional, tan irracional como \pi pero con una definición un poco más compleja… \pi , la razón que une el radio con la longitud de una circunferencia. ¡Qué fácil de comprender! ¿Y e?…
El número e nació gracias a uno de los miembros de la familia matemáticas más influtente de la historia: los Bernuilli!. Empecemos a demostrar qué es ese número, y cuando lo tengamos, haremos la explicación del significado de dicho número…

 

Antes de toda batalla (y cualquier demostración lo es) debemos tener nuestras armas. La que vamos a utilizar es la formulación fundamental de la derivada.
\frac{d}{dx}f(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}

Antes de continuar, traduzcamos qué significa eso para entender qué es la derivada… Derivar es coger una función en un punto f(x) y dar un paso pequeño por esa función: un paso dado por f(x+h). A continuación, a ese paso se le resta el punto inicial (el resto del camino) de forma que solo queda dicho paso. Y como no es lo mismo dar un paso en una esquina que en una línea recta, se divide la contribución de ese paso en el camino entre la zancada de dicho paso. Y eso es la derivada: esa dirección que tomas en un camino enorme estudiando tan solo un paso que estás dando en un momento concreto… Precioso: ¿verdad?.

Bueno, continuemos. Tomemos f(x)=\ln{x} \rightarrow \frac{d}{dx}\ln{x}=\lim_{h \to 0}\frac{\ln{(x+h)}-\ln{x}}{h}.
Si aplicamos la propiedad típica de los logaritmos \ln{a}-\ln{b}=\ln{\frac{a}{b}} de modo que, la ecuación anterior la podemos reescribir como:

\frac{d}{dx}\ln{x}=\lim_{h \to 0}\frac{1}{h} \ln{\frac{x+h}{x}}

Y ahora, amantes de los logaritmos, apliquemos otra de las preciosas propiedades de éstos: a\ln{b}=\ln{b^a}  de modo que:

\frac{d}{dx}\ln{x}=\lim_{h \to 0}\ln{ \left( \frac{x+h}{x} \right) ^ {\frac{1}{h}}}

Pero… ¿Para qué tanto rollo calculando \frac{d}{dx}\ln{x} si ya sabemos el resultado? De toda la vida en las tablas tan simáticas de las derivadas: \frac{d}{dx}\ln{x}=\frac{1}{x}. ¡Genial! Pues si tenemos dos cosas… Usémoslas:

\frac{1}{x}=\lim_{h \to 0}\ln{ \left( \frac{x+h}{x} \right) ^ {\frac{1}{h}}}

Si ahora elevamos ambos lados con respecto a la exponencial:

e^{\frac{1}{x}}=e^{\lim_{h \to 0}\ln{ \left( \frac{x+h}{x} \right) ^ {\frac{1}{h}}}}=e^{\lim_{h \to 0}\ln{ \left( 1+ \frac{h}{x}\right) ^ {\frac{1}{h}}}}

¿Qué podemos hacer ahora con el límite que está en la exponencial? Sería tan perfecto poder quitárnoslo de encima y así anular el logaritmo neperiano con la eponencial… ¿Verdad?

Gráfica 1.
Gráfica de las dos funciones para x=1. Podemos ver que, a pesar de ser gráficas distintas, cruzan el mismo punto cuando h tiende a 0.

Esta gráfica nos permite aceptar que podamos reescribir la ecuación anterior como:

e^{\lim_{h \to 0}\ln{ \left(1+ \frac{h}{x}\right) ^ {\frac{1}{h}}}}=\lim_{h \to 0}e^{\ln{ \left( 1+ \frac{h}{x}\right) ^ {\frac{1}{h}}}}=\lim_{h \to 0}{ \left( 1+ \frac{h}{x} \right) ^ {\frac{1}{h}}}

¡Maravilloso! Esto lo podemos hacer siempre que trabajemos con funciones contínuas y es una de las propiedades de los límites. Pero una imagen vale más que mil demostraciones (de vez en cuando, claro…)
Gracias a esto, estamos solo a un paso de llegar a una de las ecuaciones más bonitas del mundo mundial… Hagamos un par de cambios de variable: \frac{1}{h}=n y \frac{1}{x}=a. De este modo:, y teniendo en cuenta que si h \to 0 \rightarrow n \to \infty

e^{a}=\lim_{n \to \infty}{ \left( 1+\frac{a}{n} \right) ^ {n}}

Y esto, amigos, es el número e… ¡No es maravilloso!
Ahora, entendamos qué significa… Y para ello supondrmeos que a=1 .  Bernuilli supuso que ingresábamos en un banco un euro (el 1 de la ecuación). En ese banco te ofrecen un interés del 100% anual. Pero el señor Bernuilli dijo… ¿Qué tal si intento engañar al banco? Puedo pedir que me de un interés cada vez más pequeño de forma que si pido que me den un interés del 50% semestral, tras los primeros 6 meses tendré 1.5€, y tras los otros 6 meses me darán el 50% de ese 1.5€, que es por lo tanto 2.25€, una diferencia de 0.25cents. con respecto al 100% anual. ¡Joder! ¡A tomar por saco la crisis! En nuestra ecuación, ese interés del 50% semestral es el valor n=2 de forma que ese valor nos indica cuántas fracciones de interes tendré en un año. Y si cada vez que lo divido voy ganando más dinero… ¿Podré ser rico si hago n=\infty? ¡Ahá! Ahí tenemos la fórmula que define el número e… Lo máximo que podríamos obtener en un año haciendo ese truco será e€ al año…

Habrá que esperar a la próxima para vencer a la crisis…

 

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